La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .

 El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y   es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

 Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos   e  son heredadas por .

 Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en .

 Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

 A diferencia de lo visto para ,  y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).