Conjugada de un número complejo.

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi  y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

Propiedades de los conjugados

Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi  se tiene que  = a - bi , de donde,  = a + bi  = z

Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que 

Demostración:

Tomando z = a + bi  y z' = c + di , se tiene:   

      = a + bi  y ' = c - di , con lo que  + ' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi  y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es  = (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

 · '  = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

 Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi  que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi  es un número real.

Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración:

                           (a + bi ) + (a - bi ) = 2a

                                     (a + bi ) (a - bi ) = a² - (bi )² = a² + b²